上智大学
2015年 法（地球），経済（経営），総合（社会福祉） 第2問
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![Oを原点とする座標空間において，OA=2，OB=1，ベクトルOA・ベクトルOB=-1を満たす点Aと点Bを考え，直線AB上に点Pをとる．ただし，AB＞APとする．(1)OP⊥ABのとき，OP=\frac{\sqrt{[サ]}}{[シ]}である．(2)△OBPが二等辺三角形であるとき，OP^2=1,AP=\frac{[ス]}{[セ]}\sqrt{[ソ]},またはOP^2=[タ]+\frac{[チ]}{[ツ]}\sqrt{[テ]},AP=[ト]+\sqrt{[ナ]},またはOP^2=\frac{[ニ]}{[ヌ]},AP=\frac{[ネ]}{[ノ]}\sqrt{[ハ]}である．ただし，\frac{[ス]}{[セ]}\sqrt{[ソ]}＜[ト]+\sqrt{[ナ]}＜\frac{[ネ]}{[ノ]}\sqrt{[ハ]}とする．(3)座標空間に，OC=2，ベクトルOA・ベクトルOC=1，ベクトルOB・ベクトルOC=1を満たす点Cをとる．3点O，A，Bの定める平面をαとし，点Cから平面αに垂線CQを下ろす．このとき，CQ=\frac{\sqrt{[ヒ]}}{[フ]}であり，四面体OABCの体積は\frac{\sqrt{[ヘ]}}{[ホ]}である．](./thumb/220/3182/2015_2.png)
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$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=1$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-1$を満たす点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$を考え，直線$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$をとる．ただし，$\mathrm{AB}>\mathrm{AP}$とする．
(1) $\mathrm{OP} \perp \mathrm{AB}$のとき，$\displaystyle \mathrm{OP}=\frac{\sqrt{\fbox{サ}}}{\fbox{シ}}$である．
(2) $\triangle \mathrm{OBP}$が二等辺三角形であるとき， \[ \mathrm{OP}^2=1,\quad \mathrm{AP}=\frac{\fbox{ス}}{\fbox{セ}} \sqrt{\fbox{ソ}}, \] または \[ \mathrm{OP}^2=\fbox{タ}+\frac{\fbox{チ}}{\fbox{ツ}} \sqrt{\fbox{テ}},\quad \mathrm{AP}=\fbox{ト}+\sqrt{\fbox{ナ}}, \] または \[ \mathrm{OP}^2=\frac{\fbox{ニ}}{\fbox{ヌ}},\quad \mathrm{AP}=\frac{\fbox{ネ}}{\fbox{ノ}} \sqrt{\fbox{ハ}} \] である．ただし， \[ \frac{\fbox{ス}}{\fbox{セ}} \sqrt{\fbox{ソ}}<\fbox{ト}+\sqrt{\fbox{ナ}}<\frac{\fbox{ネ}}{\fbox{ノ}} \sqrt{\fbox{ハ}} \] とする．
(3) 座標空間に，$\mathrm{OC}=2$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1$を満たす点$\mathrm{C}$をとる．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の定める平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{C}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{CQ}$を下ろす．このとき，
$\displaystyle \mathrm{CQ}=\frac{\sqrt{\fbox{ヒ}}}{\fbox{フ}}$であり，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{ヘ}}}{\fbox{ホ}}$である．
(1) $\mathrm{OP} \perp \mathrm{AB}$のとき，$\displaystyle \mathrm{OP}=\frac{\sqrt{\fbox{サ}}}{\fbox{シ}}$である．
(2) $\triangle \mathrm{OBP}$が二等辺三角形であるとき， \[ \mathrm{OP}^2=1,\quad \mathrm{AP}=\frac{\fbox{ス}}{\fbox{セ}} \sqrt{\fbox{ソ}}, \] または \[ \mathrm{OP}^2=\fbox{タ}+\frac{\fbox{チ}}{\fbox{ツ}} \sqrt{\fbox{テ}},\quad \mathrm{AP}=\fbox{ト}+\sqrt{\fbox{ナ}}, \] または \[ \mathrm{OP}^2=\frac{\fbox{ニ}}{\fbox{ヌ}},\quad \mathrm{AP}=\frac{\fbox{ネ}}{\fbox{ノ}} \sqrt{\fbox{ハ}} \] である．ただし， \[ \frac{\fbox{ス}}{\fbox{セ}} \sqrt{\fbox{ソ}}<\fbox{ト}+\sqrt{\fbox{ナ}}<\frac{\fbox{ネ}}{\fbox{ノ}} \sqrt{\fbox{ハ}} \] とする．
(3) 座標空間に，$\mathrm{OC}=2$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1$を満たす点$\mathrm{C}$をとる．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の定める平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{C}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{CQ}$を下ろす．このとき，
$\displaystyle \mathrm{CQ}=\frac{\sqrt{\fbox{ヒ}}}{\fbox{フ}}$であり，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{ヘ}}}{\fbox{ホ}}$である．
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