上智大学
2015年 法（地球），経済（経営），総合（社会福祉） 第1問
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![次の問いに答えよ．(1)座標平面において，1次関数y=4x+2が表す直線をℓとし，ℓ上に点P(1,6)をとる．また，2次関数y=f(x)が表す放物線をCとする．(i)Cが点Pでℓと接し，かつCが点(0,1)を通るとき，f(x)=[ア]x^2+[イ]x+[ウ]である．(ii)Cが点Pでℓと接するとき，Cの頂点は直線y=[エ]x+[オ]上に存在する。 (2)複素数zの虚部をIm(z)で表すことにする．2次方程式x^2-4x+9=0の異なる2つの解をα,βとし，x^2-2x+2=0の異なる2つの解をα´,β´とする．ただし，Im(α)＞Im(β)およびIm(α´)＞Im(β´)とする．このとき，2数\frac{α}{α´},\frac{β}{β´}を解とする2次方程式の1つは，x^2+([カ]+[キ]\sqrt{[ク]})x+\frac{[ケ]}{[コ]}=0である．](./thumb/220/3182/2015_1.png)
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次の問いに答えよ．
(1) 座標平面において，$1$次関数$y=4x+2$が表す直線を$\ell$とし，$\ell$上に点$\mathrm{P}(1,\ 6)$をとる．また，$2$次関数$y=f(x)$が表す放物線を$C$とする．
(ⅰ) $C$が点$\mathrm{P}$で$\ell$と接し，かつ$C$が点$(0,\ 1)$を通るとき， \[ f(x)=\fbox{ア}x^2+\fbox{イ}x+\fbox{ウ} \] である．
(ⅱ) $C$が点$\mathrm{P}$で$\ell$と接するとき，$C$の頂点は直線 \[ y=\fbox{エ}x+\fbox{オ} \] 上に存在する。
(2) 複素数$z$の虚部を$\mathrm{Im}(z)$で表すことにする．
$2$次方程式$x^2-4x+9=0$の異なる$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とし，$x^2-2x+2=0$の異なる$2$つの解を$\alpha^\prime,\ \beta^\prime$とする．ただし，$\mathrm{Im}(\alpha)>\mathrm{Im}(\beta)$および$\mathrm{Im}(\alpha^\prime)>\mathrm{Im}(\beta^\prime)$とする．このとき，$2$数$\displaystyle \frac{\alpha}{\alpha^\prime},\ \frac{\beta}{\beta^\prime}$を解とする$2$次方程式の$1$つは， \[ x^2+\left( \fbox{カ}+\fbox{キ} \sqrt{\fbox{ク}} \right)x+\frac{\fbox{ケ}}{\fbox{コ}}=0 \] である．
(1) 座標平面において，$1$次関数$y=4x+2$が表す直線を$\ell$とし，$\ell$上に点$\mathrm{P}(1,\ 6)$をとる．また，$2$次関数$y=f(x)$が表す放物線を$C$とする．
(ⅰ) $C$が点$\mathrm{P}$で$\ell$と接し，かつ$C$が点$(0,\ 1)$を通るとき， \[ f(x)=\fbox{ア}x^2+\fbox{イ}x+\fbox{ウ} \] である．
(ⅱ) $C$が点$\mathrm{P}$で$\ell$と接するとき，$C$の頂点は直線 \[ y=\fbox{エ}x+\fbox{オ} \] 上に存在する。
(2) 複素数$z$の虚部を$\mathrm{Im}(z)$で表すことにする．
$2$次方程式$x^2-4x+9=0$の異なる$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とし，$x^2-2x+2=0$の異なる$2$つの解を$\alpha^\prime,\ \beta^\prime$とする．ただし，$\mathrm{Im}(\alpha)>\mathrm{Im}(\beta)$および$\mathrm{Im}(\alpha^\prime)>\mathrm{Im}(\beta^\prime)$とする．このとき，$2$数$\displaystyle \frac{\alpha}{\alpha^\prime},\ \frac{\beta}{\beta^\prime}$を解とする$2$次方程式の$1$つは， \[ x^2+\left( \fbox{カ}+\fbox{キ} \sqrt{\fbox{ク}} \right)x+\frac{\fbox{ケ}}{\fbox{コ}}=0 \] である．
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