上智大学
2015年 文（哲），法（国際），外国語（ドイツ、ポルトガル） 第3問
3
![tを実数とする．座標平面上に，2点A(t,0)，B(0,1-√3t)と，原点を中心とする半径1の円Cがある．点Pが円C上を動くときの2つのベクトルベクトルAP，ベクトルBPの内積の最大値をM_tとおき，ベクトルAP・ベクトルBP=M_tとなる点PをP_tと表す．(1)t=\frac{1}{√3}のとき，M_t=[ナ]+\frac{1}{\sqrt{[ニ]}}であり，P_tの座標は([ヌ],[ネ])である．(2)実数tがt≧0の範囲を動くとき，M_tはt=\frac{\sqrt{[ノ]}}{[ハ]}で最小値\frac{[ヒ]}{[フ]}をとる．(3)P_tの座標を(cosθ,sinθ)（ただし，0≦θ＜2π）と表す．実数tがt≧0の範囲を動くとき，θは\frac{[ヘ]}{[ホ]}π＜θ≦\frac{[マ]}{[ミ]}πの範囲を動く．](./thumb/220/3181/2015_3.png)
3
$t$を実数とする．座標平面上に，$2$点$\mathrm{A}(t,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1-\sqrt{3}t)$と，原点を中心とする半径$1$の円$C$がある．点$\mathrm{P}$が円$C$上を動くときの$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$の内積の最大値を$M_t$とおき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}=M_t$となる点$\mathrm{P}$を$\mathrm{P}_t$と表す．
(1) $\displaystyle t=\frac{1}{\sqrt{3}}$のとき， \[ M_t=\fbox{ナ}+\frac{1}{\sqrt{\fbox{ニ}}} \] であり，$\mathrm{P}_t$の座標は$\left( \fbox{ヌ},\ \fbox{ネ} \right)$である．
(2) 実数$t$が$t \geqq 0$の範囲を動くとき，$M_t$は$\displaystyle t=\frac{\sqrt{\fbox{ノ}}}{\fbox{ハ}}$で最小値$\displaystyle \frac{\fbox{ヒ}}{\fbox{フ}}$をとる．
(3) $\mathrm{P}_t$の座標を$(\cos \theta,\ \sin \theta)$（ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$）と表す．実数$t$が$t \geqq 0$の範囲を動くとき，$\theta$は \[ \frac{\fbox{ヘ}}{\fbox{ホ}}\pi<\theta \leqq \frac{\fbox{マ}}{\fbox{ミ}}\pi \] の範囲を動く．
(1) $\displaystyle t=\frac{1}{\sqrt{3}}$のとき， \[ M_t=\fbox{ナ}+\frac{1}{\sqrt{\fbox{ニ}}} \] であり，$\mathrm{P}_t$の座標は$\left( \fbox{ヌ},\ \fbox{ネ} \right)$である．
(2) 実数$t$が$t \geqq 0$の範囲を動くとき，$M_t$は$\displaystyle t=\frac{\sqrt{\fbox{ノ}}}{\fbox{ハ}}$で最小値$\displaystyle \frac{\fbox{ヒ}}{\fbox{フ}}$をとる．
(3) $\mathrm{P}_t$の座標を$(\cos \theta,\ \sin \theta)$（ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$）と表す．実数$t$が$t \geqq 0$の範囲を動くとき，$\theta$は \[ \frac{\fbox{ヘ}}{\fbox{ホ}}\pi<\theta \leqq \frac{\fbox{マ}}{\fbox{ミ}}\pi \] の範囲を動く．
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