上智大学
2015年 文（哲），法（国際），外国語（ドイツ、ポルトガル） 第2問
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![座標平面上の点(α,1)(α＞0)を中心とする円Cと放物線y=1/2x^2が共に点P(t,1/2t^2)で直線ℓと接している．(1)αをtの式で表すとα=\frac{[ク]}{[ケ]}t^3である．以下では，Cがx軸と接する場合を考える．Cとx軸の接点をHとする．(2)α=\frac{[コ]}{[サ]}\sqrt{[シ]}である．(3)ℓの方程式はy=\sqrt{[ス]}x+\frac{[セ]}{[ソ]}である．(4)Cの弧PHのうちの短い方と放物線y=1/2x^2およびx軸とで囲まれる図形の面積は\frac{[タ]}{[チ]}\sqrt{[ツ]}+\frac{[テ]}{[ト]}πである．](./thumb/220/3181/2015_2.png)
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座標平面上の点$(\alpha,\ 1) \ \ (\alpha>0)$を中心とする円$C$と放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$が共に点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t,\ \frac{1}{2}t^2 \right)$で直線$\ell$と接している．
(1) $\alpha$を$t$の式で表すと \[ \alpha=\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}t^3 \] である．
以下では，$C$が$x$軸と接する場合を考える．$C$と$x$軸の接点を$\mathrm{H}$とする．
(2) $\displaystyle \alpha=\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}} \sqrt{\fbox{シ}}$である．
(3) $\ell$の方程式は \[ y=\sqrt{\fbox{ス}}x+\frac{\fbox{セ}}{\fbox{ソ}} \] である．
(4) $C$の弧$\mathrm{PH}$のうちの短い方と放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$および$x$軸とで囲まれる図形の面積は \[ \frac{\fbox{タ}}{\fbox{チ}} \sqrt{\fbox{ツ}}+\frac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}}\pi \] である．
(1) $\alpha$を$t$の式で表すと \[ \alpha=\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}t^3 \] である．
以下では，$C$が$x$軸と接する場合を考える．$C$と$x$軸の接点を$\mathrm{H}$とする．
(2) $\displaystyle \alpha=\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}} \sqrt{\fbox{シ}}$である．
(3) $\ell$の方程式は \[ y=\sqrt{\fbox{ス}}x+\frac{\fbox{セ}}{\fbox{ソ}} \] である．
(4) $C$の弧$\mathrm{PH}$のうちの短い方と放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$および$x$軸とで囲まれる図形の面積は \[ \frac{\fbox{タ}}{\fbox{チ}} \sqrt{\fbox{ツ}}+\frac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}}\pi \] である．
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