上智大学
2015年 文（哲），法（国際），外国語（ドイツ、ポルトガル） 第1問
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![次の問いに答えよ．(1)関数f(x),g(x)が次の2つの式を満たしている．ただし，aは定数とする．{\begin{array}{l}∫_1^xf(t)dt=xg(x)-2ax+2\phantom{\frac{[]}{[]}}\g(x)=x^2-x∫_0^1f(t)dt-3\phantom{\frac{[]}{2}}\end{array}.このとき，a=[ア]であり，f(x)=[イ]x^2+[ウ]x+[エ]である．(2)c(n)=\frac{3n^2+174n+231}{n^2+3n+2}とおく．c(n)が整数となるような自然数nは[オ]個存在する．また，これら[オ]個の自然数のうちで最も大きいものをn^{*}と表すと，n^{*}=[カ]，c(n^{*})=[キ]である．](./thumb/220/3181/2015_1.png)
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次の問いに答えよ．
(1) 関数$f(x),\ g(x)$が次の$2$つの式を満たしている．ただし，$a$は定数とする． \[ \left\{ \begin{array}{l} \int_1^x f(t) \, dt=xg(x)-2ax+2 \phantom{\frac{\fbox{}}{\fbox{}}} \\ g(x)=x^2-x \int_0^1 f(t) \, dt-3 \phantom{\frac{\fbox{}}{2}} \end{array} \right. \] このとき，$a=\fbox{ア}$であり， \[ f(x)=\fbox{イ}x^2+\fbox{ウ}x+\fbox{エ} \] である．
(2) $\displaystyle c(n)=\frac{3n^2+174n+231}{n^2+3n+2}$とおく．$c(n)$が整数となるような自然数$n$は$\fbox{オ}$個存在する．また，これら$\fbox{オ}$個の自然数のうちで最も大きいものを$n^{\ast}$と表すと，$n^{\ast}=\fbox{カ}$，$c(n^{\ast})=\fbox{キ}$である．
(1) 関数$f(x),\ g(x)$が次の$2$つの式を満たしている．ただし，$a$は定数とする． \[ \left\{ \begin{array}{l} \int_1^x f(t) \, dt=xg(x)-2ax+2 \phantom{\frac{\fbox{}}{\fbox{}}} \\ g(x)=x^2-x \int_0^1 f(t) \, dt-3 \phantom{\frac{\fbox{}}{2}} \end{array} \right. \] このとき，$a=\fbox{ア}$であり， \[ f(x)=\fbox{イ}x^2+\fbox{ウ}x+\fbox{エ} \] である．
(2) $\displaystyle c(n)=\frac{3n^2+174n+231}{n^2+3n+2}$とおく．$c(n)$が整数となるような自然数$n$は$\fbox{オ}$個存在する．また，これら$\fbox{オ}$個の自然数のうちで最も大きいものを$n^{\ast}$と表すと，$n^{\ast}=\fbox{カ}$，$c(n^{\ast})=\fbox{キ}$である．
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