$f(x)=x^3-3x^2-x+3$とし，座標平面上の曲線$y=f(x)$の点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$における接線を$\ell$とする．ただし，$p \neq 3$とする．放物線$C:y=ax^2+bx+c$は点$(3,\ 0)$を通り，直線$\ell$と$\mathrm{P}$で接する．
(1) $a,\ b,\ c$をそれぞれ$p$の式で表すと， \[ a=\fbox{セ}p,\ b=\fbox{ソ}p^2+\fbox{タ}p+\fbox{チ},\ c=\fbox{ツ}p^2+\fbox{テ} \] である．
(2) $\displaystyle \frac{1}{2}<p<3$とする．$C$およびその下側の部分で，$C$と直線$\displaystyle x=\frac{1}{2}$および$x$軸で囲まれる図形の面積を$S_1$とおき，$C$およびその上側の部分で，$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積を$S_2$とおく．このとき， \[ S_1-S_2=\frac{25}{24}\left( \fbox{ト}p^2+\fbox{ナ}p+\fbox{ニ} \right) \] であり，$S_1=S_2$となる$p$の値は \[ p=\frac{\fbox{ヌ}}{\fbox{ネ}}+\frac{\sqrt{\fbox{ノ}}}{\fbox{ハ}} \] である．
(3) $p=1$のとき， \[ S_1+S_2=\frac{\fbox{ヒ}}{\fbox{フ}} \] である．