上智大学
2015年 法（法），総合（社会），外国語（フランス、イスパニア、ロシア） 第1問
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![次の問いに答えよ．(1)数列{a_n}の第1項から第n項までの和S_nが3S_n=a_n+2n-1を満たすならば，a_n=\frac{[ア]}{[イ]}(\frac{[ウ]}{[エ]})^n+\frac{[オ]}{[カ]}である．(2)tを実数とする．座標空間において，点(2t,1,-t)を通りベクトル(-1,2,1)と平行な直線をℓとする．点Pの座標を(0,2,0)とする．(i)点Pからℓに垂線PHを下ろすとき，PH^2=\frac{[キ]}{[ク]}t^2+[ケ]t+\frac{[コ]}{[サ]}である．(ii)点Pを中心とする半径2の球面をSとする．Sとℓが異なる2点で交わるとき，その2点間の距離はt=\frac{[シ]}{[ス]}のとき最大値をとる．](./thumb/220/3180/2015_1.png)
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次の問いに答えよ．
(1) 数列$\{a_n\}$の第$1$項から第$n$項までの和$S_n$が$3S_n=a_n+2n-1$を満たすならば， \[ a_n=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}} \left( \frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}} \right)^n+\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}} \] である．
(2) $t$を実数とする．座標空間において，点$(2t,\ 1,\ -t)$を通りベクトル$(-1,\ 2,\ 1)$と平行な直線を$\ell$とする．点$\mathrm{P}$の座標を$(0,\ 2,\ 0)$とする．
(ⅰ) 点$\mathrm{P}$から$\ell$に垂線$\mathrm{PH}$を下ろすとき， \[ \mathrm{PH}^2=\frac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}}t^2+\fbox{ケ}t+\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}} \] である．
(ⅱ) 点$\mathrm{P}$を中心とする半径$2$の球面を$S$とする．$S$と$\ell$が異なる$2$点で交わるとき，その$2$点間の距離は$\displaystyle t=\frac{\fbox{シ}}{\fbox{ス}}$のとき最大値をとる．
(1) 数列$\{a_n\}$の第$1$項から第$n$項までの和$S_n$が$3S_n=a_n+2n-1$を満たすならば， \[ a_n=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}} \left( \frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}} \right)^n+\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}} \] である．
(2) $t$を実数とする．座標空間において，点$(2t,\ 1,\ -t)$を通りベクトル$(-1,\ 2,\ 1)$と平行な直線を$\ell$とする．点$\mathrm{P}$の座標を$(0,\ 2,\ 0)$とする．
(ⅰ) 点$\mathrm{P}$から$\ell$に垂線$\mathrm{PH}$を下ろすとき， \[ \mathrm{PH}^2=\frac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}}t^2+\fbox{ケ}t+\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}} \] である．
(ⅱ) 点$\mathrm{P}$を中心とする半径$2$の球面を$S$とする．$S$と$\ell$が異なる$2$点で交わるとき，その$2$点間の距離は$\displaystyle t=\frac{\fbox{シ}}{\fbox{ス}}$のとき最大値をとる．
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