ある工場では製品$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$を生産している．それらを生産するには，原料$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が必要である．$\mathrm{X}$を$1 \, \mathrm{kg}$生産するためには，$\mathrm{A}$が$1 \, \mathrm{kg}$，$\mathrm{B}$が$4 \, \mathrm{kg}$，$\mathrm{C}$が$1 \, \mathrm{kg}$必要である．$\mathrm{Y}$を$1 \, \mathrm{kg}$生産するためには，$\mathrm{A}$が$3 \, \mathrm{kg}$，$\mathrm{B}$が$3 \, \mathrm{kg}$，$\mathrm{C}$が$2 \, \mathrm{kg}$必要である．原料の在庫はそれぞれ，$\mathrm{A}$が$23 \, \mathrm{kg}$，$\mathrm{B}$が$47 \, \mathrm{kg}$，$\mathrm{C}$が$c \, \mathrm{kg}$である．また，$\mathrm{X}$を生産すると$1 \, \mathrm{kg}$あたり$p$万円，$\mathrm{Y}$を生産すると$1 \, \mathrm{kg}$あたり$q$万円の利益がある．ただし，$c>0$，$p>0$，$q>0$とする．以下，在庫にある原料のみを用いて生産を行うものとする．
(1) $c=17$，$p=2$，$q=5$のとき，$\mathrm{X}$を$\fbox{ヌ} \, \mathrm{kg}$，$\mathrm{Y}$を$\fbox{ネ} \, \mathrm{kg}$生産すれば，最大の利益を得る．
(2) $c=17$のとき，最大の利益を得る$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の生産量の組がただ一つに定まるための必要十分条件を$\displaystyle \frac{p}{q}$の値を用いて表すと，
$\displaystyle 0<\frac{p}{q}<\frac{\fbox{ノ}}{\fbox{ハ}} \quad \text{または} \quad \frac{\fbox{ヒ}}{\fbox{フ}}<\frac{p}{q}<\frac{\fbox{ヘ}}{\fbox{ホ}}$
$\displaystyle \text{または} \quad \frac{\fbox{マ}}{\fbox{ミ}}<\frac{p}{q}<\frac{\fbox{ム}}{\fbox{メ}} \quad \text{または} \quad \frac{\fbox{モ}}{\fbox{ヤ}}<\frac{p}{q}$
である．ただし，$\displaystyle 0<\frac{\fbox{ヒ}}{\fbox{フ}}<\frac{\fbox{マ}}{\fbox{ミ}}<\frac{\fbox{モ}}{\fbox{ヤ}}$とする．
(3) $\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の生産量にかかわらず原料$\mathrm{C}$が余るための必要十分条件を$c$の値を用いて表すと，$c>\fbox{ユ}$である．