上智大学
2011年 法（法），外国語（フランス・イスパニア・ロシア） 第2問
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![Oを原点とする座標平面上に，放物線F:y=x^2+1および，点A(5,0)を中心とする半径4の円Cがある．F上に点P(t,t^2+1)，C上に点Q(a,b)をとる．(1)Pにおける放物線Fの接線と直線APとが直交するとき，線分APの長さは[タ]\sqrt{[チ]}である．(2)Qを固定し，Pのみが動くとする．△OPQの面積はt=\frac{[ツ]}{[テ]}b/aで最小値をとる．その最小値をaで表すと1/8([ト]a+\frac{[ナ]}{a}+[ニ])である．(3)P，Qがともに動くとする．△OPQの面積はa=\frac{[ヌ]}{[ネ]}\sqrt{[ノ]}で最小値\frac{[ハ]}{[ヒ]}+\frac{[フ]}{[ヘ]}\sqrt{[ホ]}をとる．](./thumb/220/142/2011_2.png)
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$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に，放物線$F:y=x^2+1$および，点$\mathrm{A}(5,\ 0)$を中心とする半径$4$の円$C$がある．$F$上に点$\mathrm{P}(t,\ t^2+1)$，$C$上に点$\mathrm{Q}(a,\ b)$をとる．
(1) $\mathrm{P}$における放物線$F$の接線と直線$\mathrm{AP}$とが直交するとき，線分$\mathrm{AP}$の長さは$\fbox{タ} \sqrt{\fbox{チ}}$である．
(2) $\mathrm{Q}$を固定し，$\mathrm{P}$のみが動くとする．$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$\displaystyle t=\frac{\fbox{ツ}}{\fbox{テ}} \frac{b}{a}$で最小値をとる．その最小値を$a$で表すと \[ \frac{1}{8} \left( \fbox{ト}a+\frac{\fbox{ナ}}{a}+\fbox{ニ} \right) \] である．
(3) $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がともに動くとする．$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$\displaystyle a=\frac{\fbox{ヌ}}{\fbox{ネ}} \sqrt{\fbox{ノ}}$で最小値 \[ \frac{\fbox{ハ}}{\fbox{ヒ}}+\frac{\fbox{フ}}{\fbox{ヘ}} \sqrt{\fbox{ホ}} \] をとる．
(1) $\mathrm{P}$における放物線$F$の接線と直線$\mathrm{AP}$とが直交するとき，線分$\mathrm{AP}$の長さは$\fbox{タ} \sqrt{\fbox{チ}}$である．
(2) $\mathrm{Q}$を固定し，$\mathrm{P}$のみが動くとする．$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$\displaystyle t=\frac{\fbox{ツ}}{\fbox{テ}} \frac{b}{a}$で最小値をとる．その最小値を$a$で表すと \[ \frac{1}{8} \left( \fbox{ト}a+\frac{\fbox{ナ}}{a}+\fbox{ニ} \right) \] である．
(3) $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がともに動くとする．$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$\displaystyle a=\frac{\fbox{ヌ}}{\fbox{ネ}} \sqrt{\fbox{ノ}}$で最小値 \[ \frac{\fbox{ハ}}{\fbox{ヒ}}+\frac{\fbox{フ}}{\fbox{ヘ}} \sqrt{\fbox{ホ}} \] をとる．
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