底面の円の半径が$3 \; \mathrm{cm}$，高さが$6 \; \mathrm{cm}$の直円錐を考える．直円錐の頂点を$\mathrm{P}$，底面の円の中心を$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{PQ}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{O}$とする．底面の円の円周を$C_1$，$\mathrm{O}$を通り底面と平行な平面が直円錐と交わってできる円の円周を$C_2$とする．$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がそれぞれ$C_1$，$C_2$上を頂点$\mathrm{P}$から見て左回りに移動している．点$\mathrm{A}$の速さは$3 \pi \,\mathrm{cm}/$秒，点$\mathrm{B}$の速さは$\pi \,\mathrm{cm}/$秒であり，時刻$t=0$において，$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{A}$は一直線上にあるとする．
(1) $\mathrm{A}$の角速度は$\fbox{コ} \pi$ラジアン$/$秒であり，$\mathrm{B}$の角速度は$\displaystyle \frac{\fbox{サ}}{\fbox{シ}} \pi$ラジアン$/$秒である．ただし，$\mathrm{A}$の角速度とは，動径$\mathrm{QA}$が$1$秒間に回転する角の大きさのことであり，$\mathrm{B}$の角速度とは，動径$\mathrm{OB}$が$1$秒間に回転する角の大きさのことである．
(2) 線分$\mathrm{AB}$の長さを時刻$t$の関数で表すと \[ \sqrt{\fbox{ス}-\fbox{セ} \cos \frac{\pi}{2}t } \ \ \mathrm{cm} \] である．
(3) $\cos \angle \mathrm{AOB}$を時刻$t$の関数で表すと \[ \frac{\fbox{ソ}}{\sqrt{\fbox{タ}}} \cos \frac{\pi}{2} t \] である．
(4) 三角形$\mathrm{AOB}$の面積を時刻$t$の関数で表すと \[ \sqrt{\fbox{チ}-\fbox{ツ} \cos^2 \frac{\pi}{2}t } \ \ \mathrm{cm}^2 \] である．
(5) $3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$を含む平面を$S$とする．$\mathrm{Q}$を通り，$S$と直交する直線を$\ell$とし，$\ell$と$S$の交点を$\mathrm{H}$とする．$\displaystyle t=\frac{1}{3}$のとき，線分$\mathrm{QH}$の長さは \[ \frac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}} \mathrm{cm} \] である．