大きさの同じ$N$個の正方形を，図$1$のように左端からつめて高さを$3$段までに並べる．このとき，各段の正方形の数はその$1$つ下の段の正方形の数以下とする．例えば，$N=4$の場合，図$2$のように$4$通りの並べ方がある．
(1) 上のような並べ方は，$N=5$のとき$\fbox{ノ}$通り，$N=6$のとき$\fbox{ハ}$通り，$N=7$のとき$\fbox{ヒ}$通りである．
(2) 高さが$2$段までの並べ方は，
$N$が偶数のとき，$\displaystyle \left( \frac{\fbox{フ}}{\fbox{ヘ}}N+\fbox{ホ} \right)$通り，
$N$が奇数のとき，$\displaystyle \left( \frac{\fbox{マ}}{\fbox{ミ}}N+\frac{\fbox{ム}}{\fbox{メ}} \right)$通りである．
(3) $N=6n$（$n$は自然数）のとき，高さが$3$段までの並べ方を考える．$3$段目の正方形が$m$個であるような並べ方が$a_m$通りあるとする．図$1$は$N=12$，$m=3$のときの並べ方の一例である．
$m$が偶数のとき， \[ a_m=\fbox{モ}n+\frac{\fbox{ヤ}}{\fbox{ユ}}m+\fbox{ヨ} \]
$m$が奇数のとき， \[ a_m=\fbox{ラ}n+\frac{\fbox{リ}}{\fbox{ル}}m+\frac{\fbox{レ}}{\fbox{ロ}} \] である．したがって，$N=6n$のとき，高さが$3$段までの並べ方は全部で \[ \fbox{ワ}n^2+\fbox{ヲ}n+\fbox{ン} \] 通りである． \imgc{220_157_2012_1}