首都大学東京
2016年 都市教養(文系) 第2問
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数直線上に$2$点$\mathrm{Q}(-1)$と$\displaystyle \mathrm{P}_1 \left( \frac{1}{2} \right)$をとり,線分$\mathrm{QP}_1$を$3:1$に外分する点を$\mathrm{P}_2$,線分$\mathrm{QP}_2$を$3:1$に外分する点を$\mathrm{P}_3$とする.以下同様に$n=1,\ 2,\ \cdots$に対し線分$\mathrm{QP}_n$を$3:1$に外分する点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする.また$\mathrm{P}_n$の座標を$a_n$とする.このとき,以下の問いに答えなさい.
(1) $\mathrm{A}$を数直線上の$\mathrm{Q}$と異なる点とする.線分$\mathrm{QA}$を$3:1$に外分する点が$\mathrm{P}_1$であるとき,$\mathrm{A}$の座標$a$を求めなさい.
(2) すべての自然数$n$に対して \[ a_n=\left( \frac{3}{2} \right)^n-1 \] が成り立つことを$n$に関する数学的帰納法で証明しなさい.
(3) $999<a_n<9999$をみたす自然数$n$をすべて求めなさい.ただし,本問では$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$とする.
(1) $\mathrm{A}$を数直線上の$\mathrm{Q}$と異なる点とする.線分$\mathrm{QA}$を$3:1$に外分する点が$\mathrm{P}_1$であるとき,$\mathrm{A}$の座標$a$を求めなさい.
(2) すべての自然数$n$に対して \[ a_n=\left( \frac{3}{2} \right)^n-1 \] が成り立つことを$n$に関する数学的帰納法で証明しなさい.
(3) $999<a_n<9999$をみたす自然数$n$をすべて求めなさい.ただし,本問では$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$とする.
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