札幌医科大学
2015年 医学部 第2問
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$p$を$0 \leqq p \leqq 1$をみたす実数とする.$1$個の白玉と$3$個の赤玉が入っている袋があり,この袋から$1$個の玉を取り出して,取り出した玉に新たに白か赤の玉を$1$個加えて袋に戻す試行を行う.ただし,この試行の際に加えられる新たな玉の色は
\begin{itemize}
確率$p$で取り出した玉と同じ色
確率$1-p$で取り出した玉と異なる色 \end{itemize} とする.
例えば,$p=1$の場合,第$1$回目の試行において赤玉が取り出されると,取り出した赤玉に加えてもう一つ赤玉を袋に戻す.そして第$1$回目の試行が終わったときには,袋の中に$1$個の白玉と$4$個の赤玉が入っている.
第$n$回目の試行で白玉が取り出される確率を$q_n$とする.
(1) 第$n$回目の試行で新たに加えられた玉が白玉であり,かつこの白玉が$n+1$回目の試行で取り出される確率を$n,\ p,\ q_n$を用いて表せ.
(2) $q_{n+1}$を$n,\ p,\ q_n$を用いて表せ.ただし$n+1$回目の試行において,$n$回目に入れた玉を取り出さないという条件の下で,$n+1$回目に白玉を取り出す条件つき確率が$q_n$と等しいことを用いてよい.
(3) $\displaystyle r_n=q_n-\frac{1}{2}$とおくとき,$r_{n+1}$を$n,\ p,\ r_n$を用いて表せ.
(4) $p=0$,$\displaystyle p=\frac{1}{2}$,$p=1$のときの$q_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ.
確率$p$で取り出した玉と同じ色
確率$1-p$で取り出した玉と異なる色 \end{itemize} とする.
例えば,$p=1$の場合,第$1$回目の試行において赤玉が取り出されると,取り出した赤玉に加えてもう一つ赤玉を袋に戻す.そして第$1$回目の試行が終わったときには,袋の中に$1$個の白玉と$4$個の赤玉が入っている.
第$n$回目の試行で白玉が取り出される確率を$q_n$とする.
(1) 第$n$回目の試行で新たに加えられた玉が白玉であり,かつこの白玉が$n+1$回目の試行で取り出される確率を$n,\ p,\ q_n$を用いて表せ.
(2) $q_{n+1}$を$n,\ p,\ q_n$を用いて表せ.ただし$n+1$回目の試行において,$n$回目に入れた玉を取り出さないという条件の下で,$n+1$回目に白玉を取り出す条件つき確率が$q_n$と等しいことを用いてよい.
(3) $\displaystyle r_n=q_n-\frac{1}{2}$とおくとき,$r_{n+1}$を$n,\ p,\ r_n$を用いて表せ.
(4) $p=0$,$\displaystyle p=\frac{1}{2}$,$p=1$のときの$q_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ.
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