金沢工業大学
2013年 理系2 第2問
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次の問いに答えよ.
(1) 角度$\theta$が$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\pi$であって$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=-\frac{1}{5}$を満たすとき, \[ \sum_{n=1}^\infty \sin^n \theta=\frac{\fbox{シ}}{\fbox{ス}},\quad \sum_{n=1}^\infty \cos^n \theta=\frac{\fbox{セ}\fbox{ソ}}{\fbox{タ}} \] である.
(2) 初項$7$,公差$9$の等差数列$\{a_n\}$について, \[ S_n=\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+\frac{1}{a_3a_4}+\cdots +\frac{1}{a_na_{n+1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] とすると,$\displaystyle S_n=\frac{1}{\fbox{チ}} \left( \frac{1}{\fbox{ツ}}-\frac{1}{\fbox{テ}n+\fbox{ト}} \right)$であって,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n=\frac{1}{\fbox{ナ}\fbox{ニ}}$である.
(1) 角度$\theta$が$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\pi$であって$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=-\frac{1}{5}$を満たすとき, \[ \sum_{n=1}^\infty \sin^n \theta=\frac{\fbox{シ}}{\fbox{ス}},\quad \sum_{n=1}^\infty \cos^n \theta=\frac{\fbox{セ}\fbox{ソ}}{\fbox{タ}} \] である.
(2) 初項$7$,公差$9$の等差数列$\{a_n\}$について, \[ S_n=\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+\frac{1}{a_3a_4}+\cdots +\frac{1}{a_na_{n+1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] とすると,$\displaystyle S_n=\frac{1}{\fbox{チ}} \left( \frac{1}{\fbox{ツ}}-\frac{1}{\fbox{テ}n+\fbox{ト}} \right)$であって,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n=\frac{1}{\fbox{ナ}\fbox{ニ}}$である.
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