東京理科大学
2015年 理工(物理・応用生物科・経営工) 第3問
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![定数aに対し,f(x)=asin2x-tanx(0≦x<π/2)とおく.(1)a>1/2であるとする.実数θを,0<θ<π/2かつf(θ)=0を満たすものとするとき,cosθをaを用いて表せ.(2)不定積分∫f(x)dxを求めよ.(3)1/2<a<1であるとする.このとき,∫_0^{π/4}|f(x)|dx+logaをaの1次式で表せ.ただし,logは自然対数を表す.](./thumb/269/268/2015_3.png)
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定数$a$に対し,
\[ f(x)=a \sin 2x-\tan x \quad \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right) \]
とおく.
(1) $\displaystyle a>\frac{1}{2}$であるとする.実数$\theta$を,$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$かつ$f(\theta)=0$を満たすものとするとき,$\cos \theta$を$a$を用いて表せ.
(2) 不定積分 \[ \int f(x) \, dx \] を求めよ.
(3) $\displaystyle \frac{1}{2}<a<1$であるとする.このとき, \[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} |f(x)| \, dx+\log a \] を$a$の$1$次式で表せ.ただし,$\log$は自然対数を表す.
(1) $\displaystyle a>\frac{1}{2}$であるとする.実数$\theta$を,$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$かつ$f(\theta)=0$を満たすものとするとき,$\cos \theta$を$a$を用いて表せ.
(2) 不定積分 \[ \int f(x) \, dx \] を求めよ.
(3) $\displaystyle \frac{1}{2}<a<1$であるとする.このとき, \[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} |f(x)| \, dx+\log a \] を$a$の$1$次式で表せ.ただし,$\log$は自然対数を表す.
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