島根大学
2011年 教育・生物資源科学部 第3問
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$2$つの放物線$C_0:y=-x^2$と$C_1:y=(x-1)^2$について,次の問いに答えよ.
(1) $C_0$上の点$(a,\ -a^2)$における接線の方程式を求めよ.
(2) $C_1$上に点$\mathrm{P}(p,\ (p-1)^2)$を任意にとるとき,点$\mathrm{P}$を通り$C_0$に接する直線は$2$本あることを示せ.
(3) (2)の$2$本の直線が$C_0$と接する点を$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$とし,$2$直線$\mathrm{AP}$,$\mathrm{BP}$及び放物線$C_0$で囲まれた部分の面積を$S$とするとき,$S^2$が最小となる$p$の値と,そのときの$S^2$の値を求めよ.
(1) $C_0$上の点$(a,\ -a^2)$における接線の方程式を求めよ.
(2) $C_1$上に点$\mathrm{P}(p,\ (p-1)^2)$を任意にとるとき,点$\mathrm{P}$を通り$C_0$に接する直線は$2$本あることを示せ.
(3) (2)の$2$本の直線が$C_0$と接する点を$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$とし,$2$直線$\mathrm{AP}$,$\mathrm{BP}$及び放物線$C_0$で囲まれた部分の面積を$S$とするとき,$S^2$が最小となる$p$の値と,そのときの$S^2$の値を求めよ.
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