松山大学
2013年 薬学部 第2問
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一般項が,$\displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n-\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right\}$で与えられる数列$\{a_n\} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$がある.
このとき,$\{a_n\}$は自然数からなる数列であることが次のようにして示される.
$\displaystyle \alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\ \beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$とおくと,$\alpha+\beta=\fbox{ア}$,$\alpha\beta=\fbox{イウ}$となる.
ここで
$a_1=\fbox{エ}$,$a_2=\fbox{オ}$ \hfill $\cdots\cdots\maruichi$
$a_n$を$\alpha,\ \beta$を用いて表すと,$\displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}(\alpha^n-\beta^n)$である.
このとき \[ \begin{array}{rcl} a_{n+2} &=& \displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}(\alpha^{n+2}-\beta^{n+2}) \\ \displaystyle\phantom{\frac{\fbox{}}{2}} &=& \displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \alpha^{n+\fbox{カ}}-\beta^{n+\fbox{キ}} \right) (\alpha+\beta)-\alpha\beta (\alpha^n-\beta^n) \right\} \end{array} \] となり \[ a_{n+2}=\fbox{ク} a_{n+1}+\fbox{ケ}a_n \hfill \cdots\cdots\maruni \] が成り立つ.よって$\maruichi$,$\maruni$より,$a_3=\fbox{コ}$,$a_4=\fbox{サ}$,$\cdots$となり,$\{a_n\}$は自然数からなる数列であることが示された.
このとき,$\{a_n\}$は自然数からなる数列であることが次のようにして示される.
$\displaystyle \alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\ \beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$とおくと,$\alpha+\beta=\fbox{ア}$,$\alpha\beta=\fbox{イウ}$となる.
ここで
$a_1=\fbox{エ}$,$a_2=\fbox{オ}$ \hfill $\cdots\cdots\maruichi$
$a_n$を$\alpha,\ \beta$を用いて表すと,$\displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}(\alpha^n-\beta^n)$である.
このとき \[ \begin{array}{rcl} a_{n+2} &=& \displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}(\alpha^{n+2}-\beta^{n+2}) \\ \displaystyle\phantom{\frac{\fbox{}}{2}} &=& \displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \alpha^{n+\fbox{カ}}-\beta^{n+\fbox{キ}} \right) (\alpha+\beta)-\alpha\beta (\alpha^n-\beta^n) \right\} \end{array} \] となり \[ a_{n+2}=\fbox{ク} a_{n+1}+\fbox{ケ}a_n \hfill \cdots\cdots\maruni \] が成り立つ.よって$\maruichi$,$\maruni$より,$a_3=\fbox{コ}$,$a_4=\fbox{サ}$,$\cdots$となり,$\{a_n\}$は自然数からなる数列であることが示された.
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