上智大学
2014年 法(国際) 第3問
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$a$を$-1$でない実数とし,座標平面において,放物線
\[ C:y=(x^2-2x+1)+a(x^2-5x+6) \]
を考える.
(1) $C$は,$a$の値によらず$2$点$\mathrm{P}(\fbox{ソ},\ \fbox{タ})$,$\mathrm{Q}(\fbox{チ},\ \fbox{ツ})$を必ず通る.ただし,$\fbox{ソ}<\fbox{チ}$とする.
(2) 点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$,点$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$\ell^\prime$とする.$\ell$と$\ell^\prime$の交点の座標は$\displaystyle \left( \frac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}},\ \frac{\fbox{ナ}}{\fbox{ニ}}a+\fbox{ヌ} \right)$である.
(3) $C$の軸は$\displaystyle x=\frac{1}{2} \left( \fbox{ネ}+\frac{\fbox{ノ}}{a+\fbox{ハ}} \right)$である.
(4) $C$が$x$軸と異なる$2$点で交わるのは
$a<\fbox{ヒ}$ \ または \ $\fbox{フ}<a$ \quad (ただし$a \neq -1$)
のときである.
(5) $a=\fbox{フ}$のとき,$C$は点$\displaystyle \left( \frac{\fbox{ヘ}}{\fbox{ホ}},\ 0 \right)$で$x$軸と接する. $C$が$x$軸と$2$点$(\alpha,\ 0)$,$(\beta,\ 0)$(ただし$\alpha<\beta$)で交わるとき,$\displaystyle \beta-\alpha=\frac{2}{3} \sqrt{5}$となるのは,$a=\fbox{マ}$または$\displaystyle a=\frac{\fbox{ミ}}{\fbox{ム}}$のときである.ただし,$\displaystyle \fbox{マ}<\frac{\fbox{ミ}}{\fbox{ム}}$とする.$a=\fbox{マ}$のとき,$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{\fbox{メ}}{\fbox{モ}} \sqrt{\fbox{ヤ}}$である.
(1) $C$は,$a$の値によらず$2$点$\mathrm{P}(\fbox{ソ},\ \fbox{タ})$,$\mathrm{Q}(\fbox{チ},\ \fbox{ツ})$を必ず通る.ただし,$\fbox{ソ}<\fbox{チ}$とする.
(2) 点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$,点$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$\ell^\prime$とする.$\ell$と$\ell^\prime$の交点の座標は$\displaystyle \left( \frac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}},\ \frac{\fbox{ナ}}{\fbox{ニ}}a+\fbox{ヌ} \right)$である.
(3) $C$の軸は$\displaystyle x=\frac{1}{2} \left( \fbox{ネ}+\frac{\fbox{ノ}}{a+\fbox{ハ}} \right)$である.
(4) $C$が$x$軸と異なる$2$点で交わるのは
$a<\fbox{ヒ}$ \ または \ $\fbox{フ}<a$ \quad (ただし$a \neq -1$)
のときである.
(5) $a=\fbox{フ}$のとき,$C$は点$\displaystyle \left( \frac{\fbox{ヘ}}{\fbox{ホ}},\ 0 \right)$で$x$軸と接する. $C$が$x$軸と$2$点$(\alpha,\ 0)$,$(\beta,\ 0)$(ただし$\alpha<\beta$)で交わるとき,$\displaystyle \beta-\alpha=\frac{2}{3} \sqrt{5}$となるのは,$a=\fbox{マ}$または$\displaystyle a=\frac{\fbox{ミ}}{\fbox{ム}}$のときである.ただし,$\displaystyle \fbox{マ}<\frac{\fbox{ミ}}{\fbox{ム}}$とする.$a=\fbox{マ}$のとき,$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{\fbox{メ}}{\fbox{モ}} \sqrt{\fbox{ヤ}}$である.
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