東北大学
2012年 理系 第6問
6
![数列{a_n}をa_1=1,a_{n+1}=\sqrt{\frac{3a_n+4}{2a_n+3}}(n=1,2,3,・・・)で定める.以下の問いに答えよ.(1)n≧2のとき,a_n>1となることを示せ.(2)α^2=\frac{3α+4}{2α+3}を満たす正の実数αを求めよ.(3)すべての自然数nに対してa_n<αとなることを示せ.(4)0<r<1を満たすある実数rに対して,不等式\frac{α-a_{n+1}}{α-a_n}≦r(n=1,2,3,・・・)が成り立つことを示せ.さらに,極限\lim_{n→∞}a_nを求めよ.](./thumb/52/1021/2012_6.png)
6
数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=\sqrt{\frac{3a_n+4}{2a_n+3}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める.以下の問いに答えよ.
(1) $n \geqq 2$のとき,$a_n>1$となることを示せ.
(2) $\displaystyle \alpha^2=\frac{3 \alpha+4}{2 \alpha+3}$を満たす正の実数$\alpha$を求めよ.
(3) すべての自然数$n$に対して$a_n<\alpha$となることを示せ.
(4) $0<r<1$を満たすある実数$r$に対して,不等式 \[ \frac{\alpha-a_{n+1}}{\alpha-a_n} \leqq r \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] が成り立つことを示せ.さらに,極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ.
(1) $n \geqq 2$のとき,$a_n>1$となることを示せ.
(2) $\displaystyle \alpha^2=\frac{3 \alpha+4}{2 \alpha+3}$を満たす正の実数$\alpha$を求めよ.
(3) すべての自然数$n$に対して$a_n<\alpha$となることを示せ.
(4) $0<r<1$を満たすある実数$r$に対して,不等式 \[ \frac{\alpha-a_{n+1}}{\alpha-a_n} \leqq r \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] が成り立つことを示せ.さらに,極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ.
類題(関連度順)
![](./thumb/661/2830/2015_3s.png)
![](./thumb/53/0/2016_3s.png)
![](./thumb/37/2045/2014_4s.png)
![](./thumb/536/2233/2011_3s.png)
![](./thumb/72/2157/2012_3s.png)
![](./thumb/669/2872/2013_1s.png)
![](./thumb/721/2975/2014_3s.png)
![](./thumb/178/2358/2014_3s.png)
![](./thumb/412/2577/2010_2s.png)
コメント(0件)
現在この問題に関するコメントはありません。
書き込むにはログインが必要です。