円$C:x^2+y^2=20$と円$C$の外部に存在する点$\mathrm{R}(8,\ a)$（$a$は負の実数）について考える．点$\mathrm{R}$を通り円$C$に接する直線は$2$つ存在する．この$2$つの直線が円$C$と接する点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする（点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$p,\ q$とする）．$\angle \mathrm{PRQ}={60}^\circ$となるとき，$|a+p+q|$の値を求めよ．