$3$つの空間ベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1,\ -2)$，$\overrightarrow{b}=(3,\ 4,\ 0)$，$\overrightarrow{c}=(x,\ y,\ z)$について考える．$\overrightarrow{c}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の両方に垂直であり，$|\overrightarrow{c}|=2 \sqrt{5}$となる．$|z|$の値を求めよ．