$2$つの放物線$C_1:y=-2x^2+10x,\ C_2:y=x^2-2x$について考える．$C_1$と$C_2$の相異なる$2$つの交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$に平行で$C_1$に接する直線を$L$とする．$L$と$C_1$と$C_2$で囲まれる面積を$S$としたとき，$\displaystyle \left( \frac{S}{32}+1 \right)^2$の値を求めよ．