産業医科大学
2011年 医学部 第1問
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空欄にあてはまる適切な数,式,記号などを記入しなさい.
(1) 角$\theta$が$0^\circ \leqq \theta \leqq {90}^\circ$,$\displaystyle \tan \theta=\frac{4}{3}$を満たすとき,$\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}$の値は$\fbox{}$である.
(2) $4$次方程式$2x^4+7x^3+4x^2+7x+2=0$の実数解のうち最大のものは$\fbox{}$である.
(3) 数列の極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \{ \sqrt[3]{(n^3-n^2)^2}-2n \sqrt[3]{n^3-n^2}+n^2 \}$の値は$\fbox{}$である.
(4) 円$x^2-8x+y^2-8y+30=0$に接する傾き$1$の$2$つの直線を$\ell_1$,$\ell_2$とする.放物線$y=2x^2+3x-2$と$2$直線$\ell_1$,$\ell_2$によって囲まれる図形の面積は$\fbox{}$である.ただし,この図形は原点を含むものとする.
(5) $x$を正の実数とするとき,関数$\displaystyle y=\left( \frac{2}{x} \right)^x$の導関数$\displaystyle \frac{dy}{dx}$は$\fbox{}$である. 定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-2 \sin 2x+3 \cos^2 x} \, dx$の値は$\fbox{}$である. バスケットボールのフリースローを,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の$2$人がそれぞれ$3$回ずつ試みて,成功した回数が多い方が勝ちとする.$\mathrm{A}$の成功率は$\displaystyle \frac{1}{2}$,$\mathrm{B}$の成功率は$\displaystyle \frac{2}{3}$であるとき,$\mathrm{A}$が勝つ確率は$\fbox{}$である.ただし,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の試行は独立な試行と考える. $0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7$の数字が書かれた$8$枚のカードがある.カードをもとに戻すことなく,$1$枚ずつ$8$枚すべてを取り出し,左から順に横に一列に並べる.このとき,数字$k$のカードの左側に並んだ$k$より小さい数字のカードの枚数が$k-1$である確率は$\fbox{}$である.ただし,$k$は$1$から$7$までの整数のいずれかとする.
(1) 角$\theta$が$0^\circ \leqq \theta \leqq {90}^\circ$,$\displaystyle \tan \theta=\frac{4}{3}$を満たすとき,$\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}$の値は$\fbox{}$である.
(2) $4$次方程式$2x^4+7x^3+4x^2+7x+2=0$の実数解のうち最大のものは$\fbox{}$である.
(3) 数列の極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \{ \sqrt[3]{(n^3-n^2)^2}-2n \sqrt[3]{n^3-n^2}+n^2 \}$の値は$\fbox{}$である.
(4) 円$x^2-8x+y^2-8y+30=0$に接する傾き$1$の$2$つの直線を$\ell_1$,$\ell_2$とする.放物線$y=2x^2+3x-2$と$2$直線$\ell_1$,$\ell_2$によって囲まれる図形の面積は$\fbox{}$である.ただし,この図形は原点を含むものとする.
(5) $x$を正の実数とするとき,関数$\displaystyle y=\left( \frac{2}{x} \right)^x$の導関数$\displaystyle \frac{dy}{dx}$は$\fbox{}$である. 定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-2 \sin 2x+3 \cos^2 x} \, dx$の値は$\fbox{}$である. バスケットボールのフリースローを,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の$2$人がそれぞれ$3$回ずつ試みて,成功した回数が多い方が勝ちとする.$\mathrm{A}$の成功率は$\displaystyle \frac{1}{2}$,$\mathrm{B}$の成功率は$\displaystyle \frac{2}{3}$であるとき,$\mathrm{A}$が勝つ確率は$\fbox{}$である.ただし,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の試行は独立な試行と考える. $0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7$の数字が書かれた$8$枚のカードがある.カードをもとに戻すことなく,$1$枚ずつ$8$枚すべてを取り出し,左から順に横に一列に並べる.このとき,数字$k$のカードの左側に並んだ$k$より小さい数字のカードの枚数が$k-1$である確率は$\fbox{}$である.ただし,$k$は$1$から$7$までの整数のいずれかとする.
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