熊本大学
2010年 理系 第2問
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曲線$C:x^2+y^2=1 \ (x \geqq 0,\ y \geqq 0)$上に3点A$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2} \right)$,P$(1,\ 0)$,Q$(0,\ 1)$をとり,$\displaystyle \angle \text{POR}=\theta \ \left( 0<\theta < \frac{\pi}{4} \right)$となる$C$上の点をR$(s,\ t)$とする.さらに,$C$上の点Xを2つのベクトル$s \overrightarrow{\mathrm{OA}}-t\overrightarrow{\mathrm{OX}}$と$t \overrightarrow{\mathrm{OA}}-s\overrightarrow{\mathrm{OX}}$が垂直になるようにとる.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OX}}$の内積の値を$\theta$を用いて表せ.
(2) 条件をみたすXが弧AP上にとれるとき,$\theta$の範囲を求めよ.
(3) (2)で求めた$\theta$の範囲において,$\triangle$ROXの面積の最大値を求めよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OX}}$の内積の値を$\theta$を用いて表せ.
(2) 条件をみたすXが弧AP上にとれるとき,$\theta$の範囲を求めよ.
(3) (2)で求めた$\theta$の範囲において,$\triangle$ROXの面積の最大値を求めよ.
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