獨協大学
2015年 文系 第1問
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次の設問の空欄を,あてはまる数値や記号,式などで埋めなさい.
(1) $a$を正の定数とするとき,方程式$x^2-y^2+ax-y+2=0$が$2$直線を表すとする.$a=\fbox{$1$}$のとき,$2$直線の方程式はそれぞれ$\fbox{$2$}$,$\fbox{$3$}$となる.ただし,$\fbox{$2$}$,$\fbox{$3$}$は解答の順序を問わない.
(2) $\triangle \mathrm{ABC}$の各辺の長さを$\mathrm{AB}=c$,$\mathrm{BC}=a$,$\mathrm{CA}=b$とする.$a=2$,$b=3$のとき,$c$のとりうる値の範囲は$\fbox{$4$}$である.また,$\angle \mathrm{C}$の大きさが${90}^\circ$のとき,$c=\fbox{$5$}$となる.
(3) $a>0$かつ$a^{2p}=5$であるとき,$\displaystyle \frac{a^{2p}-a^{-2p}}{a^p+a^{-p}}$の値は$\fbox{$6$}$である.
(4) 関数$y={(\log_3 x)}^2-\log_3 x^4+5 \ \ (1 \leqq x \leqq 27)$は,$x=\fbox{$7$}$で最大値$\fbox{$8$}$をとり,$x=\fbox{$9$}$で最小値$\fbox{$10$}$をとる.
(5) 関数$f(x)$が等式$\displaystyle f(x)=2x^2+\int_{-2}^0 xf(t) \, dt+\int_0^2 f(t) \, dt$を満たすとき,$f(x)=\fbox{$11$}$である. 男性$8$人,女性$10$人からなる企業があるとする.このとき,男性$2$人,女性$3$人の役員を選ぶ場合の数は$\fbox{$12$}$通りである.また,この$5$人の役員を選んだとき,役員から社長と副社長をそれぞれ$1$人選出する場合の数は$\fbox{$13$}$通りである. ベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1)$に垂直で,大きさが$\sqrt{5}$のベクトルは$2$つあり,それぞれを$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$とすると,$\overrightarrow{b}=(\fbox{$14$})$,$\overrightarrow{c}=(\fbox{$15$})$である.ただし,$\fbox{$14$}$,$\fbox{$15$}$は解答の順序を問わない. 数列$4,\ 9,\ 16,\ 25,\ 36,\ \cdots$について考える.この数列の第$n$項を$a_n$で表すと,$a_n=\fbox{$16$}$となるので,初項から第$n$項までの和$S_n$は$S_n=\fbox{$17$}n^3+\fbox{$18$}n^2+\fbox{$19$}n$と表すことができる.
(1) $a$を正の定数とするとき,方程式$x^2-y^2+ax-y+2=0$が$2$直線を表すとする.$a=\fbox{$1$}$のとき,$2$直線の方程式はそれぞれ$\fbox{$2$}$,$\fbox{$3$}$となる.ただし,$\fbox{$2$}$,$\fbox{$3$}$は解答の順序を問わない.
(2) $\triangle \mathrm{ABC}$の各辺の長さを$\mathrm{AB}=c$,$\mathrm{BC}=a$,$\mathrm{CA}=b$とする.$a=2$,$b=3$のとき,$c$のとりうる値の範囲は$\fbox{$4$}$である.また,$\angle \mathrm{C}$の大きさが${90}^\circ$のとき,$c=\fbox{$5$}$となる.
(3) $a>0$かつ$a^{2p}=5$であるとき,$\displaystyle \frac{a^{2p}-a^{-2p}}{a^p+a^{-p}}$の値は$\fbox{$6$}$である.
(4) 関数$y={(\log_3 x)}^2-\log_3 x^4+5 \ \ (1 \leqq x \leqq 27)$は,$x=\fbox{$7$}$で最大値$\fbox{$8$}$をとり,$x=\fbox{$9$}$で最小値$\fbox{$10$}$をとる.
(5) 関数$f(x)$が等式$\displaystyle f(x)=2x^2+\int_{-2}^0 xf(t) \, dt+\int_0^2 f(t) \, dt$を満たすとき,$f(x)=\fbox{$11$}$である. 男性$8$人,女性$10$人からなる企業があるとする.このとき,男性$2$人,女性$3$人の役員を選ぶ場合の数は$\fbox{$12$}$通りである.また,この$5$人の役員を選んだとき,役員から社長と副社長をそれぞれ$1$人選出する場合の数は$\fbox{$13$}$通りである. ベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1)$に垂直で,大きさが$\sqrt{5}$のベクトルは$2$つあり,それぞれを$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$とすると,$\overrightarrow{b}=(\fbox{$14$})$,$\overrightarrow{c}=(\fbox{$15$})$である.ただし,$\fbox{$14$}$,$\fbox{$15$}$は解答の順序を問わない. 数列$4,\ 9,\ 16,\ 25,\ 36,\ \cdots$について考える.この数列の第$n$項を$a_n$で表すと,$a_n=\fbox{$16$}$となるので,初項から第$n$項までの和$S_n$は$S_n=\fbox{$17$}n^3+\fbox{$18$}n^2+\fbox{$19$}n$と表すことができる.
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