以下の問いに答えなさい．
下図のように，外接円と内接円の中心が同一となる$\triangle \mathrm{ABC}$を考える．この中心を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円との交点をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円は$\triangle \mathrm{DEF}$の外接円にあたる．すなわち，$\triangle \mathrm{ABC}$の内心が$\triangle \mathrm{DEF}$の外心となっている． \imgc{48_2309_2014_1}
(1) $\triangle \mathrm{ABC}$および$\triangle \mathrm{DEF}$がいずれも正三角形であることを示しなさい．
(2) $\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径$\mathrm{OA}$と$\triangle \mathrm{DEF}$の外接円の半径$\mathrm{OD}$との長さの比を求めなさい．
(3) ここで，改めて，$\triangle \mathrm{ABC}$を$(\triangle \mathrm{ABC})_1$，$\triangle \mathrm{DEF}$を$(\triangle \mathrm{ABC})_2$のように表し，一辺の長さが$a$である$(\triangle \mathrm{ABC})_1$の内接円をもとに$(\triangle \mathrm{ABC})_2$を描き，この$(\triangle \mathrm{ABC})_2$の内接円をもとに$(\triangle \mathrm{ABC})_3$を描くということを繰り返していく．このようにして，$(\triangle \mathrm{ABC})_n$を描いたとき，$(\triangle \mathrm{ABC})_n$の一辺の長さを$a$を用いて表しなさい．