岩手県立大学
2014年 文系 第2問
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以下の問いに答えなさい．
$\sin \theta-\cos \theta$が無理数であることを示したい．ここで，$\theta$は以下を満たすものとする． \[ \sin \theta \cos \theta=\frac{1}{4} \quad \text{ただし，} \ \ \frac{1}{4} \pi<\theta<\frac{1}{2} \pi \]
(1) $\theta$の値を答えなさい．
(2) $\sin \theta-\cos \theta$の値を答えなさい．
(3) $(2)$で求めた値が無理数であることを背理法を用いて証明しなさい．なお，必要であれば$\sqrt{2}$と$\sqrt{3}$が無理数であることを利用してもよい．
$\sin \theta-\cos \theta$が無理数であることを示したい．ここで，$\theta$は以下を満たすものとする． \[ \sin \theta \cos \theta=\frac{1}{4} \quad \text{ただし，} \ \ \frac{1}{4} \pi<\theta<\frac{1}{2} \pi \]
(1) $\theta$の値を答えなさい．
(2) $\sin \theta-\cos \theta$の値を答えなさい．
(3) $(2)$で求めた値が無理数であることを背理法を用いて証明しなさい．なお，必要であれば$\sqrt{2}$と$\sqrt{3}$が無理数であることを利用してもよい．
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