大阪府立大学
2016年 文系 第2問
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\begin{mawarikomi}{50mm}{\imgc{507_2698_2016_1}}
右図のような$1$辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$に対し,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく.$\displaystyle 0<t<\frac{1}{2}$となる$t$に対して,辺$\mathrm{AE}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}$,辺$\mathrm{CG}$を$2t:1-2t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする.$\mathrm{O}$,$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の定める平面を$\alpha$とし,平面$\alpha$と直線$\mathrm{BF}$との交点を$\mathrm{R}$とすると,四角形$\mathrm{OPRQ}$は平行四辺形である.平行四辺形$\mathrm{OPRQ}$の面積を$S$,四角錐$\mathrm{DOPRQ}$の体積を$V$とする.このとき,以下の問いに答えよ.
\end{mawarikomi}
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角を$\theta$とするとき,$\cos \theta$を$t$を用いて表せ.
(2) $S$を$t$を用いて表せ.
(3) 平面$\alpha$に点$\mathrm{D}$から垂線$\mathrm{DH}$を下ろす.$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$と$t$を用いて表せ.
(4) $V$は$t$によらず一定であることを示せ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角を$\theta$とするとき,$\cos \theta$を$t$を用いて表せ.
(2) $S$を$t$を用いて表せ.
(3) 平面$\alpha$に点$\mathrm{D}$から垂線$\mathrm{DH}$を下ろす.$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$と$t$を用いて表せ.
(4) $V$は$t$によらず一定であることを示せ.
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