杏林大学
2013年 医学部 第3問
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$x \geqq 1$の実数$x$に対し,方程式
\[ f(x)=(\log_e x)^2-\int_1^e \frac{f(t)}{t} \, dt \]
を満たす関数$f(x)$について,以下の問いに答えよ.
(1) $\displaystyle \int_1^e \frac{(\log_e t)^2}{t} \, dt=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}$であることに注意すると, \[ f(x)=(\log_e x)^2-\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}} \] となる.また,曲線$y=f(x)$の変曲点の$y$座標の値は$\displaystyle \frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}}$である.
(2) 点$(e,\ f(e))$における$y=f(x)$の接線の方程式は \[ y=\fbox{キ} e^{\fbox{クケ}} x-\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}} \] である.この接線と曲線$y=f(x)$および直線$x=1$で囲まれた図形の面積は \[ \fbox{シス}+\frac{1}{e} \left( \fbox{セ}+e^{\fbox{ソ}} \right) \] である.
(1) $\displaystyle \int_1^e \frac{(\log_e t)^2}{t} \, dt=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}$であることに注意すると, \[ f(x)=(\log_e x)^2-\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}} \] となる.また,曲線$y=f(x)$の変曲点の$y$座標の値は$\displaystyle \frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}}$である.
(2) 点$(e,\ f(e))$における$y=f(x)$の接線の方程式は \[ y=\fbox{キ} e^{\fbox{クケ}} x-\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}} \] である.この接線と曲線$y=f(x)$および直線$x=1$で囲まれた図形の面積は \[ \fbox{シス}+\frac{1}{e} \left( \fbox{セ}+e^{\fbox{ソ}} \right) \] である.
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