岩手大学
2012年 理工学部 第4問
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\begin{spacing}{2}
行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle -\frac{1}{4} & \displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{4} \\
\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4} & \displaystyle -\frac{1}{4}
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．
\end{spacing}
(1) $A^2,\ A^3$を求めよ．
(2) $n$を自然数とし，$\biggl( \begin{array}{c} x_n \\ y_n \end{array} \biggr)=A^n \biggl( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \biggr)$とするとき，$\biggl( \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{c} x_3 \\ y_3 \end{array} \biggr)$を求めよ．
(3) $xy$平面上の点P$_n$の座標を，(2)で定めた$(x_n,\ y_n)$とする．原点Oを中心とし，OP$_n$を半径とする円の面積を$S_n$とするとき，$S_1,\ S_2,\ S_3$を求めよ．
(4) (3)で定めた$S_n$について，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の和を求めよ．
(1) $A^2,\ A^3$を求めよ．
(2) $n$を自然数とし，$\biggl( \begin{array}{c} x_n \\ y_n \end{array} \biggr)=A^n \biggl( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \biggr)$とするとき，$\biggl( \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{c} x_3 \\ y_3 \end{array} \biggr)$を求めよ．
(3) $xy$平面上の点P$_n$の座標を，(2)で定めた$(x_n,\ y_n)$とする．原点Oを中心とし，OP$_n$を半径とする円の面積を$S_n$とするとき，$S_1,\ S_2,\ S_3$を求めよ．
(4) (3)で定めた$S_n$について，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の和を求めよ．
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