岩手大学
2010年 工学部 第3問
3
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整数$n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$に対して，
\begin{eqnarray}
& & a_n = \int_n^{n+1} \{xe^{-x}-(n+1)e^{-n-1}(x-n) \} \, dx \nonumber \\
& & b_n = \int_n^{n+1} \{xe^{-x}-(n+1)e^{-n-1} \} \, dx \nonumber
\end{eqnarray}
とおくとき，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
(1) $a_0,\ b_0$を求めよ．
(2) $c_n=a_n-b_n$で定める数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(3) $\displaystyle S_n=\sum_{k=0}^n c_k$であるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n}{e^n}=0$を用いてよい．
(1) $a_0,\ b_0$を求めよ．
(2) $c_n=a_n-b_n$で定める数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(3) $\displaystyle S_n=\sum_{k=0}^n c_k$であるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n}{e^n}=0$を用いてよい．
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