次の文章について，後の問いに答えよ．\\ \\ \quad 地球温暖化問題に関して，二酸化炭素の排出量の削減が叫ばれている．2008年に日本で開かれたサミットでは，42年後の2050年までに，年当たりの排出量を2008年のときと比較して50$\%$以上削減する，という目標が提言された．この目標を達成するために，前年比同率で削減することを考える．\\ \quad 2008年における排出量を$a \ (a>0)$とし，毎年，前年の$d \times 100 \% \ (0<d<1)$を減らすこととする．2008年の1年後の2009年の排出量の目標は\fbox{\bf ア}である．2008年から$n$年後の年間排出量を$a_n$とおくと，$a_n=\fbox{イ}$である．目標を達成するには$\displaystyle a_{42} \leqq \frac{a}{2}$，つまり，$d$を用いた式で表せば， \[ \fbox{ウ} \leqq \frac{1}{2} \] が成り立てばよい．両辺の逆数をとれば$\displaystyle \frac{1}{\fbox{ウ}} \geqq 2$となる．ところで，不等式 \[ (1+d)^{42} < \frac{1}{\fbox{ウ}} \ \ \ \, \cdots\cdots \maru{1} \] が成り立つことがわかる．従って， \[ (1+d)^{42} \geqq 2 \qquad\qquad \cdots\cdots \maru{2} \] を満たす$d$を見つければ目標を達成することは明らかである．不等式\maru{2}の左辺は，二項定理により \[ (1+d)^{42} =\sum_{r=0}^{42} \fbox{エ} \] と表される．これを用いると，\underline{$d=0.02$は不等式\maru{2}を満たす}ことがわかる．つまり，毎年$2\%$の削減を2009年から行ったとすれば，42年後の2050年の排出量は2008年の$50\%$未満となることがわかった．
(1) 文章中の\fbox{ア}～\fbox{エ}に当てはまる式を答えよ．
(2) $0<d<1$とするとき，不等式\maru{1}を証明せよ．
(3) 下線部の命題を証明せよ．
(4) 毎年$2\%$の削減を行った場合でも，42年間の排出量の合計は，削減率を0のまま2008年と同じ排出量を同じ期間続けたときの排出量の合計の$\displaystyle \frac{7}{12}$倍より大きくなることを証明せよ．