鋭角三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{GA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{GB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき
$2 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=-9$
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}-\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}+2 \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=-3$
を満たしているものとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を示せ．
(2) ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$の大きさ$|\overrightarrow{a}|$，$|\overrightarrow{b}|$を求めよ．
(3) $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=-2$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さを求めよ．