岩手大学
2011年 理工学部 第3問
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数列$\{a_n\}$が
\[ a_1 =\frac{1}{2},\ a_{n+1} = \frac{(n^2 +n)a_n}{n^2 +n+a_n} \quad (n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められるとき，次の問いに答えよ．
(1) 数列$\{b_n\}$が$\displaystyle b_n=\frac{1-a_n}{a_n}$で与えられるとき，$b_1,\ b_2,\ b_3$の値を求めよ．
(2) (1)における$\{b_n\}$の階差数列$\{c_n\}$の一般項，および$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3) 不等式 \[ \sum_{k=2}^n \frac{a_k}{3k+1} < \frac{1}{18} \log \frac{9n^2}{8} \] が成り立つことを示せ．ただし，$n \geqq 2$とする．
(1) 数列$\{b_n\}$が$\displaystyle b_n=\frac{1-a_n}{a_n}$で与えられるとき，$b_1,\ b_2,\ b_3$の値を求めよ．
(2) (1)における$\{b_n\}$の階差数列$\{c_n\}$の一般項，および$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3) 不等式 \[ \sum_{k=2}^n \frac{a_k}{3k+1} < \frac{1}{18} \log \frac{9n^2}{8} \] が成り立つことを示せ．ただし，$n \geqq 2$とする．
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