以下の問いに答えよ．
(1) 自然数$n$に関する次の命題を証明せよ．
(ⅰ) $n$を$3$で割った余りが1ならば，$n^2$を$3$で割った余りは$1$である．
(ⅱ) $n$が$3$の倍数であることは，$n^2$が$3$の倍数であるための必要十分条件である．
(2) $100$から$999$までの$3$桁の自然数について，次の問いに答えよ．
(ⅰ) $3$種類の数字が現れるものは何個あるか． [$\tokeini$)] $0$が現れないものは何個あるか．
(ⅲ) $0$または$1$が現れるものは何個あるか．
(3) $1$から$49$までの自然数からなる集合を全体集合$U$とする．$U$の要素のうち，$50$との最大公約数が$1$より大きいもの全体からなる集合を$V$，また，$U$の要素のうち，偶数であるもの全体からなる集合を$W$とする．いま$A$と$B$は$U$の部分集合で，次の$2$つの条件を満たすものとする．
[(ア)] $A \cup \overline{B}=V$ [(イ)] $\overline{A} \cap \overline{B} = W$
このとき，集合$A$の要素をすべて求めよ．ただし，$\overline{A}$と$\overline{B}$はそれぞれ$A$と$B$の補集合とする．