岐阜大学
2011年 理系 第4問
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![k,nは自然数でn≧3とする.平面上の点Oを中心とする\\半径1の円をS_1とする.右の図のように,半径r_1のn個の\\円は隣り合う他の2つの円と外接し,かつS_1に内接してい\\る.さらに,点Oを中心とする円S_2は,半径r_1のすべて\\の円に外接している.同様に,k≧2に対して,半径r_kの\\n個の円は隣り合う他の2つの円と外接し,かつ円S_kに内\\接している.さらに点Oを中心とする円S_{k+1}は,半径r_k\\のすべての円に外接している.S_2の半径をs_2とする.以下の問に答えよ.\img{385_2485_2011_1}{60}(1)r_1とs_2をnを用いて表せ.(2)半径r_kの1つの円の面積をT_k(n)とする.T_k(n)をkとnを用いて表せ.(3)U(n)=nΣ_{k=1}^∞T_k(n)とする.U(n)を求めよ.(4)\lim_{n→∞}U(n)を求めよ.](./thumb/385/2485/2011_4.png)
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$k,\ n$は自然数で$n \geqq 3$とする.平面上の点$\mathrm{O}$を中心とする \\
半径1の円を$S_1$とする.右の図のように,半径$r_1$の$n$個の \\
円は隣り合う他の2つの円と外接し,かつ$S_1$に内接してい \\
る.さらに,点$\mathrm{O}$を中心とする円$S_2$は,半径$r_1$のすべて \\
の円に外接している.同様に,$k \geqq 2$に対して,半径$r_k$の \\
$n$個の円は隣り合う他の2つの円と外接し,かつ円$S_k$に内 \\
接している.さらに点$\mathrm{O}$を中心とする円$S_{k+1}$は,半径$r_k$ \\
のすべての円に外接している.$S_2$の半径を$s_2$とする.以下の問に答えよ.
\img{385_2485_2011_1}{60}
(1) $r_1$と$s_2$を$n$を用いて表せ.
(2) 半径$r_k$の1つの円の面積を$T_k(n)$とする.$T_k(n)$を$k$と$n$を用いて表せ.
(3) $\displaystyle U(n)=n \sum_{k=1}^\infty T_k(n)$とする.$U(n)$を求めよ.
(4) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}U(n)$を求めよ.
(1) $r_1$と$s_2$を$n$を用いて表せ.
(2) 半径$r_k$の1つの円の面積を$T_k(n)$とする.$T_k(n)$を$k$と$n$を用いて表せ.
(3) $\displaystyle U(n)=n \sum_{k=1}^\infty T_k(n)$とする.$U(n)$を求めよ.
(4) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}U(n)$を求めよ.
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コメント(3件)
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