東京医科歯科大学
2012年 医学部 第3問
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![関数f(x)=x^3-x^2+xについて，以下の各問いに答えよ．(1)f(x)はつねに増加する関数であることを示せ．(2)f(x)の逆関数をg(x)とおく．x＞0について\sqrt[3]{x}-1＜g(x)＜\sqrt[3]{x}+1が成立することを示せ．(3)b＞a＞0について0＜∫_a^b\frac{1}{x^2+1}dx＜1/aが成立することを示せ．(4)自然数nについて，(2)で定義されたg(x)を用いてA_n=∫_n^{2n}\frac{1}{{g(x)}^3+g(x)}dxとおくとき，極限値\lim_{n→∞}A_nを求めよ．](./thumb/180/1908/2012_3.png)
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関数$f(x)=x^3-x^2+x$について，以下の各問いに答えよ．
(1) $f(x)$はつねに増加する関数であることを示せ．
(2) $f(x)$の逆関数を$g(x)$とおく．$x>0$について \[ \sqrt[3]{x}-1 < g(x) < \sqrt[3]{x}+1 \] が成立することを示せ．
(3) $b>a>0$について \[ 0<\int_a^b \frac{1}{x^2+1}\, dx<\frac{1}{a} \] が成立することを示せ．
(4) 自然数$n$について，(2)で定義された$g(x)$を用いて \[ A_n=\int_n^{2n} \frac{1}{\{g(x)\}^3+g(x)} \, dx \] とおくとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} A_n$を求めよ．
(1) $f(x)$はつねに増加する関数であることを示せ．
(2) $f(x)$の逆関数を$g(x)$とおく．$x>0$について \[ \sqrt[3]{x}-1 < g(x) < \sqrt[3]{x}+1 \] が成立することを示せ．
(3) $b>a>0$について \[ 0<\int_a^b \frac{1}{x^2+1}\, dx<\frac{1}{a} \] が成立することを示せ．
(4) 自然数$n$について，(2)で定義された$g(x)$を用いて \[ A_n=\int_n^{2n} \frac{1}{\{g(x)\}^3+g(x)} \, dx \] とおくとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} A_n$を求めよ．
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