$a^2+b^2=1$を満たす正の実数$a,\ b$の組$(a,\ b)$の全体を$S$とする．$S$に含まれる$(a,\ b)$に対し，$xyz$空間内に3点P$(a,\ b,\ b)$，Q$(-a,\ b,\ b)$，R$(0,\ 0,\ b)$をとる．また原点をOとする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1) 三角形OPQを$x$軸のまわりに1回転してできる立体を$F_1$とする．$(a,\ b)$が$S$の中を動くとき，$F_1$の体積の最大値を求めよ．
(2) 三角形PQRを$x$軸のまわりに1回転してできる立体を$F_2$とする．$\displaystyle a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}$のとき，$F_2$の$xy$平面による切り口の周を$xy$平面上に図示せよ．
(3) 三角形OPRを$x$軸のまわりに1回転してできる立体を$F_3$とする．$(a,\ b)$が$S$の中を動くとき，$F_3$の体積の最大値を求めよ．