東京医科歯科大学
2011年 医学部 第1問
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ある硬貨を投げたとき，表と裏がそれぞれ確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で出るとする．この硬貨を投げる操作を繰り返し行い，3回続けて表が出たときこの操作を終了する．自然数$n$に対し，
操作がちょうど$n$回目で終了となる確率を$P_n$
操作が$n$回以上繰り返される確率を$Q_n$
とする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1) $P_3,\ P_4,\ P_5,\ P_6,\ P_7$をそれぞれ求めよ．
(2) $Q_6,\ Q_7$をそれぞれ求めよ．
(3) $n \geqq 5$のとき，$Q_n-Q_{n-1}$を$Q_{n-4}$を用いて表せ．
(4) $n \geqq 4$のとき，$\displaystyle Q_n < \left( \frac{3}{4} \right)^{\frac{n-3}{4}}$が成り立つことを示せ．
操作がちょうど$n$回目で終了となる確率を$P_n$
操作が$n$回以上繰り返される確率を$Q_n$
とする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1) $P_3,\ P_4,\ P_5,\ P_6,\ P_7$をそれぞれ求めよ．
(2) $Q_6,\ Q_7$をそれぞれ求めよ．
(3) $n \geqq 5$のとき，$Q_n-Q_{n-1}$を$Q_{n-4}$を用いて表せ．
(4) $n \geqq 4$のとき，$\displaystyle Q_n < \left( \frac{3}{4} \right)^{\frac{n-3}{4}}$が成り立つことを示せ．
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