数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を次のように定義する． \[ \left\{ \begin{array}{l} a_1=5,\ \ b_1=3, \\ \left( \begin{array}{c} a_{n+1} \\ b_{n+1} \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 5 & 3 \\ 3 & 5 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} a_{n} \\ b_{n} \end{array} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \end{array} \right. \] また，自然数$n$について$c_n=a_n^2-b_n^2$とおく．このとき以下の各問いに答えよ．
(1) $c_n$を$n$を用いて表せ．
(2) $k$を自然数とするとき，自然数$\ell$について \[ a_{k+\ell}=a_ka_\ell + b_kb_\ell,\ \ b_{k+\ell}=b_ka_\ell+a_kb_\ell \] が成立することを，$\ell$に関する数学的帰納法によって示せ．
(3) $n > \ell$となる自然数$n,\ \ell$について \[ b_{n+\ell}-c_\ell b_{n-\ell}=2a_nb_\ell \] が成立することを示せ．
(4) $2$以上の自然数$n$について \[ a_{2n}+\sum_{m=1}^{n-1}c_{n-m}a_{2m}=\frac{b_{2n+1}}{2b_1}-\frac{c_n}{2} \] が成立することを示せ．