$xyz$空間において連立不等式 \[ |x| \leqq 1,\quad |y| \leqq 1,\quad |z| \leqq 1 \] の表す領域を$Q$とし，正の実数$r$に対して$x^2+y^2+z^2 \leqq r^2$の表す領域を$S$とする．また，$Q$と$S$のいずれか一方のみに含まれる点全体がなす領域を$R$とし，$R$の体積を$V(r)$とする．さらに
$x \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_x$
$y \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_y$
$z \geqq 1$の表す領域と$S$の共通部分を$S_z$
とし，
$S_x \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_1$
$S_x \cap S_y \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_2$
$S_x \cap S_y \cap S_z \neq \phi$を満たす$r$の最小値を$r_3$
とする．ただし，$\phi$は空集合を表す．このとき以下の各問いに答えよ．
(1) $\displaystyle r=\frac{\sqrt{10}}{3}$のとき，$R$の$xy$平面による断面を図示せよ．
(2) $r_1,\ r_2,\ r_3$および$V(r_1)$，$V_(r_3)$を求めよ．
(3) $r \geqq r_1$のとき，$S_x$の体積を$r$を用いて表せ．
(4) $0<r \leqq r_2$において，$V(r)$が最小となる$r$の値を求めよ．