東京医科歯科大学
2014年 医学部 第3問
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![aを正の実数，kを自然数とし，x＞0で定義される関数f(x)=∫_a^{ax}\frac{k+\sqrt[k]{u}}{ku}duを考える．このとき以下の各問いに答えよ．(1)f(x)の増減および凹凸を調べ，y=f(x)のグラフの概形をかけ．(2)y=f(x)のx=1における接線の方程式を求めよ．(3)Sを正の実数とするとき，f(p)=Sを満たす実数pがただ1つ存在することを示せ．(4)b=\frac{k}{k+\sqrt[k]{a}}とおくとき，(2)のS,pについて，次の不等式が成立することを示せ．1+bS＜p＜e^{bS}](./thumb/180/1908/2014_3.png)
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$a$を正の実数，$k$を自然数とし，$x>0$で定義される関数
\[ f(x)=\int_a^{ax} \frac{k+\sqrt[k]{u}}{ku} \, du \]
を考える．このとき以下の各問いに答えよ．
(1) $f(x)$の増減および凹凸を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(2) $y=f(x)$の$x=1$における接線の方程式を求めよ．
(3) $S$を正の実数とするとき，$f(p)=S$を満たす実数$p$がただ$1$つ存在することを示せ．
(4) $\displaystyle b=\frac{k}{k+\sqrt[k]{a}}$とおくとき，$(2)$の$S,\ p$について，次の不等式が成立することを示せ． \[ 1+bS<p<e^{bS} \]
(1) $f(x)$の増減および凹凸を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(2) $y=f(x)$の$x=1$における接線の方程式を求めよ．
(3) $S$を正の実数とするとき，$f(p)=S$を満たす実数$p$がただ$1$つ存在することを示せ．
(4) $\displaystyle b=\frac{k}{k+\sqrt[k]{a}}$とおくとき，$(2)$の$S,\ p$について，次の不等式が成立することを示せ． \[ 1+bS<p<e^{bS} \]
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