東京医科歯科大学
2013年 医学部 第3問
3
3
$m,\ n$を自然数として，関数$f(x)=x^m(1-x)^n$を考える．このとき以下の各問いに答えよ．
(1) $0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を$m,\ n$を用いて表せ．
(2) 定積分$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$を$m,\ n$を用いて表せ．
(3) $a,\ b,\ c$を実数として，関数$g(x)=ax^2+bx+c$の$0 \leqq x \leqq 1$における最大値を$M(a,\ b,\ c)$とする．次の2条件$\tokeiichi,\ \tokeini$が成立するとき，$M(a,\ b,\ c)$の最小値を$m,\ n$を用いて表せ．
(ⅰ) $g(0)=g(1)=0$
(ⅱ) $0<x<1$のとき$f(x) \leqq g(x)$
(4) $m,\ n$が2以上の自然数で$m>n$であるとき \[ \frac{(m+n+1)!}{m!n!}>\frac{(m+n)^{m+n}}{m^mn^n}>2^{2n-1} \] が成立することを示せ．
(1) $0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を$m,\ n$を用いて表せ．
(2) 定積分$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$を$m,\ n$を用いて表せ．
(3) $a,\ b,\ c$を実数として，関数$g(x)=ax^2+bx+c$の$0 \leqq x \leqq 1$における最大値を$M(a,\ b,\ c)$とする．次の2条件$\tokeiichi,\ \tokeini$が成立するとき，$M(a,\ b,\ c)$の最小値を$m,\ n$を用いて表せ．
(ⅰ) $g(0)=g(1)=0$
(ⅱ) $0<x<1$のとき$f(x) \leqq g(x)$
(4) $m,\ n$が2以上の自然数で$m>n$であるとき \[ \frac{(m+n+1)!}{m!n!}>\frac{(m+n)^{m+n}}{m^mn^n}>2^{2n-1} \] が成立することを示せ．
つぶやく
類題（関連度順）
コメント（0件）
現在この問題に関するコメントはありません。
書き込むにはログインが必要です。
