東京大学
2015年 文系 第4問
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投げたとき表と裏の出る確率がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$のコインを$1$枚用意し,次のように左から順に文字を書く.
コインを投げ,表が出たときは文字列$\mathrm{AA}$を書き,裏が出たときは文字$\mathrm{B}$を書く.さらに繰り返しコインを投げ,同じ規則に従って,$\mathrm{AA}$,$\mathrm{B}$をすでにある文字列の右側につなげて書いていく.
たとえば,コインを$5$回投げ,その結果が順に表,裏,裏,表,裏であったとすると,得られる文字列は, \[ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{B} \ \mathrm{B} \ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{B} \] となる.このとき,左から$4$番目の文字は$\mathrm{B}$,$5$番目の文字は$\mathrm{A}$である.
(1) $n$を正の整数とする.$n$回コインを投げ,文字列を作るとき,文字列の左から$n$番目の文字が$\mathrm{A}$となる確率を求めよ.
(2) $n$を$2$以上の整数とする.$n$回コインを投げ,文字列を作るとき,文字列の左から$n-1$番目の文字が$\mathrm{A}$で,かつ$n$番目の文字が$\mathrm{B}$となる確率を求めよ.
コインを投げ,表が出たときは文字列$\mathrm{AA}$を書き,裏が出たときは文字$\mathrm{B}$を書く.さらに繰り返しコインを投げ,同じ規則に従って,$\mathrm{AA}$,$\mathrm{B}$をすでにある文字列の右側につなげて書いていく.
たとえば,コインを$5$回投げ,その結果が順に表,裏,裏,表,裏であったとすると,得られる文字列は, \[ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{B} \ \mathrm{B} \ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{B} \] となる.このとき,左から$4$番目の文字は$\mathrm{B}$,$5$番目の文字は$\mathrm{A}$である.
(1) $n$を正の整数とする.$n$回コインを投げ,文字列を作るとき,文字列の左から$n$番目の文字が$\mathrm{A}$となる確率を求めよ.
(2) $n$を$2$以上の整数とする.$n$回コインを投げ,文字列を作るとき,文字列の左から$n-1$番目の文字が$\mathrm{A}$で,かつ$n$番目の文字が$\mathrm{B}$となる確率を求めよ.
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