札幌医科大学
2013年 医学部 第3問
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曲線$7x^2+2 \sqrt{3}xy+9y^2=30$上の点$(x,\ y)$に対して,変換
\[ \left\{ \begin{array}{l}
X=x \cos \theta-y \sin \theta \\
Y=x \sin \theta+y \cos \theta \phantom{\displaystyle\frac{\fbox{}}{2}}
\end{array} \right. \]
を考える(ただし$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする).このとき$X,\ Y$のみたす式は
\[ a(\theta)X^2+b(\theta)XY+c(\theta)Y^2=30 \]
となる.ただし,$a(\theta)$,$b(\theta)$,$c(\theta)$は$\theta$のみにより決まる定数である.いま,$b(\theta)=0$をみたす$\theta$を$\theta_1$とする.
(1) $\theta_1$を求めよ.
(2) $a(\theta_1)X^2+c(\theta_1)Y^2=30$で囲まれた図形の面積を求めよ.
(3) $a(\theta_1)X^2+c(\theta_1)Y^2=30$に内接する平行四辺形の面積の最大値を求めよ.
(1) $\theta_1$を求めよ.
(2) $a(\theta_1)X^2+c(\theta_1)Y^2=30$で囲まれた図形の面積を求めよ.
(3) $a(\theta_1)X^2+c(\theta_1)Y^2=30$に内接する平行四辺形の面積の最大値を求めよ.
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