室蘭工業大学
2016年 工学部 第4問
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![各項が正の数である2つの数列{a_n},{b_n}はa_1=1,b_1=e,a_{n+1}={a_n}^5・{b_n}^{3},b_{n+1}=\frac{b_n}{a_n}(n=1,2,3,・・・)を満たすとする.ただし,eは自然対数の底とする.(1)c_n=loga_n,d_n=logb_nとおく.ただし,対数は自然対数とする.c_{n+1}+αd_{n+1}=β(c_n+αd_n)を満たす定数α,βの組をすべて求めよ.(2)数列{a_n},{b_n}の一般項を求めよ.](./thumb/7/18/2016_4.png)
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各項が正の数である$2$つの数列$\{a_n\}$,$\{b_n\}$は
$a_1=1,\quad b_1=e,$
$\displaystyle a_{n+1}={a_n}^5 \cdot {b_n}^{3},\quad b_{n+1}=\frac{b_n}{a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
を満たすとする.ただし,$e$は自然対数の底とする.
(1) $c_n=\log a_n$,$d_n=\log b_n$とおく.ただし,対数は自然対数とする. \[ c_{n+1}+\alpha d_{n+1}=\beta (c_n+\alpha d_n) \] を満たす定数$\alpha,\ \beta$の組をすべて求めよ.
(2) 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項を求めよ.
$a_1=1,\quad b_1=e,$
$\displaystyle a_{n+1}={a_n}^5 \cdot {b_n}^{3},\quad b_{n+1}=\frac{b_n}{a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
を満たすとする.ただし,$e$は自然対数の底とする.
(1) $c_n=\log a_n$,$d_n=\log b_n$とおく.ただし,対数は自然対数とする. \[ c_{n+1}+\alpha d_{n+1}=\beta (c_n+\alpha d_n) \] を満たす定数$\alpha,\ \beta$の組をすべて求めよ.
(2) 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項を求めよ.
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