宮城大学
2011年 文系 第1問
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次の空欄$\fbox{ア}$から$\fbox{ケ}$にあてはまる数や式を書きなさい.
(1) 自然数$n$に対し$n!$で$n$の階乗$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot (n-1) \cdot n$を表し,$2$を底とする対数関数を$\log_2 (x)$とする.このとき, \[ \log_2(1!)-\log_2(2!)+\log_2(3!)-\log_2(4!)=\fbox{ア} \] となる.
(2) 三角形$\mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$,$\angle \mathrm{B}$,$\angle \mathrm{C}$の大きさを$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,辺$\mathrm{BC}$の長さを$a$,辺$\mathrm{CA}$の長さを$b$,辺$\mathrm{AB}$の長さを$c$,三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$とおく.$S$を$b,\ c$と$\mathrm{A}$を使って表すと, \[ S=\frac{1}{2}bc \fbox{イ} \] となる.また,$a,\ b,\ c,\ \mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$の間には \[ b=a \frac{\fbox{ウ}}{\sin \mathrm{A}},\quad c=a \frac{\fbox{エ}}{\sin \mathrm{A}} \] という関係がある.よって,$S$を$a,\ \mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$で表すと, \[ S=\frac{1}{2}a^2 \fbox{オ} \] となる.とくに,$\mathrm{B}=30^\circ$,$\mathrm{C}=45^\circ$,$a=1$のときには, \[ \sin \mathrm{B}=\fbox{カ},\quad \sin \mathrm{C}=\fbox{キ} \] また, \[ \sin \mathrm{A}=\fbox{ク} \] だから, \[ S=\frac{-1+\fbox{ケ}}{4} \] となる.
(1) 自然数$n$に対し$n!$で$n$の階乗$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot (n-1) \cdot n$を表し,$2$を底とする対数関数を$\log_2 (x)$とする.このとき, \[ \log_2(1!)-\log_2(2!)+\log_2(3!)-\log_2(4!)=\fbox{ア} \] となる.
(2) 三角形$\mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$,$\angle \mathrm{B}$,$\angle \mathrm{C}$の大きさを$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,辺$\mathrm{BC}$の長さを$a$,辺$\mathrm{CA}$の長さを$b$,辺$\mathrm{AB}$の長さを$c$,三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$とおく.$S$を$b,\ c$と$\mathrm{A}$を使って表すと, \[ S=\frac{1}{2}bc \fbox{イ} \] となる.また,$a,\ b,\ c,\ \mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$の間には \[ b=a \frac{\fbox{ウ}}{\sin \mathrm{A}},\quad c=a \frac{\fbox{エ}}{\sin \mathrm{A}} \] という関係がある.よって,$S$を$a,\ \mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$で表すと, \[ S=\frac{1}{2}a^2 \fbox{オ} \] となる.とくに,$\mathrm{B}=30^\circ$,$\mathrm{C}=45^\circ$,$a=1$のときには, \[ \sin \mathrm{B}=\fbox{カ},\quad \sin \mathrm{C}=\fbox{キ} \] また, \[ \sin \mathrm{A}=\fbox{ク} \] だから, \[ S=\frac{-1+\fbox{ケ}}{4} \] となる.
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