上智大学
2014年 経済(経済) 第2問
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座標空間の原点$\mathrm{O}$を通りベクトル$(1,\ \sqrt{3},\ 2 \sqrt{3})$に平行な直線を$\ell$とし,点$\mathrm{A}$の座標を$(\sqrt{3}+3,\ 3 \sqrt{3}+3,\ 6-2 \sqrt{3})$とする.このとき,$\mathrm{O}$を頂点とする円錐$C$は,底面の中心$\mathrm{H}$が$\ell$上にあり,底面の円周が$\mathrm{A}$を通るとする.
(1) $\displaystyle \angle \mathrm{AOH}=\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}}\pi$である.ただし,$0 \leqq \angle \mathrm{AOH}<\pi$とする.
(2) $\mathrm{H}$の座標は \[ \left( \sqrt{\fbox{シ}},\ \fbox{ス},\ \fbox{セ} \right) \] である.
(3) 点$(\sqrt{3},\ y,\ z)$が$C$の底面上(境界を含む)にあるとき,常に \[ y+\fbox{ソ}z+\fbox{タ}=0 \] が成り立つ.
(4) 点$(\sqrt{3},\ y,\ z)$が$C$の側面上(境界を含む)にあるとき,常に \[ \fbox{チ}y^2+\fbox{ツ}yz+\fbox{テ}z^2+\fbox{ト}y+\fbox{ナ}z+21=0 \] が成り立つ.また,このときの$z$の最大値は \[ \fbox{ニ}+\frac{\fbox{ヌ}}{\fbox{ネ}} \sqrt{\fbox{ノ}} \] である.
(1) $\displaystyle \angle \mathrm{AOH}=\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}}\pi$である.ただし,$0 \leqq \angle \mathrm{AOH}<\pi$とする.
(2) $\mathrm{H}$の座標は \[ \left( \sqrt{\fbox{シ}},\ \fbox{ス},\ \fbox{セ} \right) \] である.
(3) 点$(\sqrt{3},\ y,\ z)$が$C$の底面上(境界を含む)にあるとき,常に \[ y+\fbox{ソ}z+\fbox{タ}=0 \] が成り立つ.
(4) 点$(\sqrt{3},\ y,\ z)$が$C$の側面上(境界を含む)にあるとき,常に \[ \fbox{チ}y^2+\fbox{ツ}yz+\fbox{テ}z^2+\fbox{ト}y+\fbox{ナ}z+21=0 \] が成り立つ.また,このときの$z$の最大値は \[ \fbox{ニ}+\frac{\fbox{ヌ}}{\fbox{ネ}} \sqrt{\fbox{ノ}} \] である.
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