弘前大学
2011年 理系 第6問
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行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が次の条件を満たしているものとする.
\[ A \left( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
\sqrt{\frac{1}{2}} \\
\sqrt{\frac{3}{2}}
\end{array} \right) \quad A \left( \begin{array}{c}
-1 \\
1
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
-\sqrt{\frac{3}{2}} \\
\sqrt{\frac{1}{2}}
\end{array} \right) \]
このとき,次の問いに答えよ.
(1) $A$および$A^2$を求めよ.
(2) Oを座標平面上の原点とし,Oと異なる点P$(x_1,\ y_1)$があり,他の2点Q$(x_2,\ y_2)$,R$(x_3,\ y_3)$に対して次の関係があるとする. \[ \left( \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end{array} \right) = A^3 \left( \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \right) \qquad \left( \begin{array}{c} x_3 \\ y_3 \end{array} \right) = A^{-1} \left( \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \right) \] このとき,三角形OQRが正三角形であることを証明せよ.
(3) 点P,Qは(2)と同じものとする.$\angle \text{OPQ}$の大きさを求めよ.
(1) $A$および$A^2$を求めよ.
(2) Oを座標平面上の原点とし,Oと異なる点P$(x_1,\ y_1)$があり,他の2点Q$(x_2,\ y_2)$,R$(x_3,\ y_3)$に対して次の関係があるとする. \[ \left( \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end{array} \right) = A^3 \left( \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \right) \qquad \left( \begin{array}{c} x_3 \\ y_3 \end{array} \right) = A^{-1} \left( \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array} \right) \] このとき,三角形OQRが正三角形であることを証明せよ.
(3) 点P,Qは(2)と同じものとする.$\angle \text{OPQ}$の大きさを求めよ.
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