岐阜大学
2010年 理系 第5問
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行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$に関する以下の問に答えよ.$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr)$,$O=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$とおく.
(1) $A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O$を証明せよ.
(2) $a,\ b,\ c,\ d$が有理数のとき,$A^3=5E$は成り立たないことを証明せよ.$\sqrt[3]{5}$は無理数であることを使ってよい.
(3) $a,\ b,\ c,\ d$が実数のとき,$A^6=-E$を満たす$A$の$a+d$と$ad-bc$の組$(a+d,\ ad-bc)$をすべて求めよ.その各々の組に対し,それを与える$A$の例を1つずつ記せ.
(1) $A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O$を証明せよ.
(2) $a,\ b,\ c,\ d$が有理数のとき,$A^3=5E$は成り立たないことを証明せよ.$\sqrt[3]{5}$は無理数であることを使ってよい.
(3) $a,\ b,\ c,\ d$が実数のとき,$A^6=-E$を満たす$A$の$a+d$と$ad-bc$の組$(a+d,\ ad-bc)$をすべて求めよ.その各々の組に対し,それを与える$A$の例を1つずつ記せ.
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